Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若Sn=n2+bn+c(b，c∈R)，则{a_n}为等差数列；
②若{a_n}为等差数列且a₁＞0，则数列{a1an}为等比数列；
③若{a_n}为等比数列，则{lga_n}为等差数列；
④若{a_n}为等差数列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，则S_2n=90，其中真命题有

②④

．

Answer 1

分析：利用等差数列的前n项和，判断①的正误；
利用等差数列的通项公式，利用等比数列的定义，判断数列{a1an}为等比数列；推出②的正误；
利用特殊数列，通过反例判断③的正误；
利用等差数列的求和公式求出S_2n-S_n，利用等差数列的性质，判断④的正误；

解答：解：因为等差数列的前n项和，是关于n的二次函数，不含非0常数项，所以①不正确；
{a_n}为等差数列且a₁＞0，则数列{a1an}为等比数列，所以a_n=a₁+（n-1）d，
所以a1an=a1a1+(n-1)d，

a1an

a1an-1

=a1a1+(n-1)d-a1-(n-2)d=a1d，
所以数列{a1an}为等比数列，正确．
③若{a_n}为等比数列，则{lga_n}为等差数列，如果a_n=-2，lga_n没有意义，所以不正确；
对于④{a_n}为等差数列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，则S_2n=90，
所以S_2n-S_n=90-100=-10，S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，
100，-10，-120，是等差数列，所以④正确；
故答案为：②④．

点评：本题考查等差数列与等比数列的基本关系，考查逻辑推理能力，计算能力．