Question

（2013•淄博二模）已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q且

F1P

•

F2Q

=-5．
（I）求点T的横坐标x₀；
（II）若以F₁，F₂为焦点的椭圆C过点(1，

2

2

)．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，设

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得到F₁和F₂的坐标，设出P，Q的坐标，然后直接利用

F1P

•

F2Q

=-5进行求解；
（Ⅱ）①设出椭圆标准方程，利用椭圆过点(1，

2

2

)，结合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
②当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到|

TA

+

TB

|的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用

F2A

=λ

F2B

，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把|

TA

+

TB

|转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出|

TA

+

TB

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）如图，

由题意得F₂（1，0），F₁（-1，0），设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），
则

F1P

=(x0+1，y0)，

F2Q

=(x0-1，-y0)．
由

F1P

•

F2Q

=-5，
得x02-1-y02=-5，即x02-y02=-4  ①
又P（x₀，y₀）在抛物线上，则y02=4x0  ②
联立①、②得，x02-4x0+4=0，解得：x₀=2．
所以点T的横坐标x₀=2．
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因椭圆C过点(1，

2

2

)，
则

1

a2

+

1 2

b2

=1  ③
又a²=b²+1  ④
将④代入③，解得b²=1或b2=-

1

2

（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（ⅱ）1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，
又T（2，0），所以|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=2；
2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y=kx-k x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），显然y₁≠0，y₂≠0，则由根与系数的关系，
可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2k2-2

1+2k2

．
y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

  ⑤
y1•y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=

-k2

1+2k2

  ⑥
因为

F2A

=λ

F2B

，所以

y1

y2

=λ，且λ＜0．
将⑤式平方除以⑥式得：λ+

1

λ

+2=

-4

1+2k2

由λ∈[-2，-1），得λ+

1

λ

∈[-

5

2

，-2)，即λ+

1

λ

+2∈[-

1

2

，0)．
故-

1

2

≤

-4

1+2k2

＜0，解得k2≥

7

2

．
因为

TA

=(x1-2，y1)，

TB

=(x2-2，y2)，所以

TA

+

TB

=(x1+x2-4，y1+y2)，
又x1+x2-4=

-4(1+k2)

1+2k2

，
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=

4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

．
令t=

1

1+2k2

，因为k2≥

7

2

，所以0＜

1

1+2k2

≤

1

8

，即t∈(0，

1

8

]，
所以|

TA

+

TB

|2=2t2+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈(4，

169

32

]．
所以|

TA

+

TB

|∈(2，

13 2

8

]
综上所述：|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量数量积的运算，考查了分类讨论的数学解题思想，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是难度较大的题目．