Question

6．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）

• A． 动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
• B． 恒有DE⊥平面A′GF
• C． 三棱锥A′-FED的体积有最大值
• D． 异面直线A′E与BD不可能垂直

Answer 1

分析 由△ABC为正三角形可探讨过A'作面ABC的垂线的垂足的位置在AF上，从而可以得到A，B，C正确，通过举反例否定D，即可得答案．

解答 解：过A′作A'H⊥面ABC，垂足为H，
∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交
∴AG⊥DE，A′G⊥DE，
又∵AG∩A′G=G
∴DE⊥面A′GA，
∴H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故A，B对．
S_{三棱锥A′-FED}=$\frac{1}{3}$S_△EFD•A′H，
∵底面面积是个定值，
∴当A′H为A′G时，三棱锥的面积最大，故C对；
在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故D不对
故选：D．

点评 本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查空间中点，线，面的位置关系，以及线面，面面垂直的判断和性质，同时也考查了异面直线所成角，是个基础题