Question

【题目】已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且该双曲线过点(2,2).

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）点A为双曲线C上任一点，F1F2分别为双曲线的左右焦点,过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果；

（2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程.

（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±2x，

则设双曲线方程为：4x2﹣y2=λ，(λ≠0)，

点(2,2)代入得：λ=12，

则双曲线方程为：4x2﹣y2=12，

即1.

（2）∵F1,F2是双曲线1的左右焦点，

过F2作角的平分线AB的垂线，垂足为P，

并且交AF1于Q，连接OP，

如下图所示：

则//，

显然

故|AQ|=|AF2|，

∴|F1Q|=|AF1|﹣|AQ|=|AF1|﹣|AF2|=2a，

∴|OP|=a，

由圆的定义可知，点P的轨迹是以点O为圆心，为半径的圆，

所以P的轨迹方程为：x2+y2=3.