对于函数f(x)，若存在xo∈R，使f(xo)＝xo成立，则xo为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求 a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y＝kx＋
对称，求b的最小值．
命题意图：本题主要考查二次函数及其图象、一元二次方程和直线方程以及不等式的综合应用，考查学生的自学能力和逻辑思维能力． 解题思路：扣住“不动点”的定义，建立相应的方程求解． (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3． 由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3． 故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1，3． (2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有两个不动点， cx＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)， 即ax2＋bx＋(b－1)＝0恒有两个相异的实数根，得 △＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立． 于是△’＝(4a)2－16a<0．解得0<a<1． 故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围是0<a<1． (3)由题意，A、B两点应在直线y＝x上，设A(x1，y1)、B(x2，y2)． ∵点A、B关于直线y＝kx＋ 设AB的中点为M(x’，y’)． ∵x1、x2是方程ax2＋bx＋b－1＝0的两个根， 于是，由M在直线y＝－x＋ 即b＝－ 故b≥－ 评点：本题借助不变量思想，以不动点作为栽体命题，蕴含着“及时定义，及时解答”的试题结构特征，新颖而富于思考．将图象问题转化为代数问题来研究，充分体现了数形结合的思想方法．
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阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（08年黄冈中学一模理） (本小题满分14分)对于函数f(x)，若存在
，使
成立，则称x0为f(x)的不动点. 如果函数
有且仅有两个不动点0，2，且
（1）试求函数f(x)的单调区间；
（2）已知各项不为零且不为1的数列{an}满足
，求证：
；
（3）设
，
为数列{bn}的前n项和，求证：
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科目：高中数学 来源： 题型：
对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+
对称，求b的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数
f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x1，x2．
⑴若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：
<m<1；
⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范围．
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科目：高中数学 来源：2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（解析版） 题型：填空题
对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.
（1）布林函数
的等域区间是 .
（2）若函数
是布林函数，则实数k的取值范围是
.
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科目：高中数学 来源：2014届湖南省华容县高一第一学期期末考试数学试卷 题型：解答题
(本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。
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对称，∴k＝－1．
上，得－
＝
a>0,∴2a＋
当且仅当2a＝
，即a＝
∈(0，1)时取等号．
,得b的最小值为－
．