Question

12．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2$\sqrt{5}$，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求$AB•BC≤\frac{20}{{2-\sqrt{3}}}=20（{2+\sqrt{3}}）$，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$∠B={30^0}，AC=2\sqrt{5}$，
∴由余弦定理，得AC²=20=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=$A{B^2}+B{C^2}-\sqrt{3}AB•BC≥（{2-\sqrt{3}}）AB•BC$，
∴$AB•BC≤\frac{20}{{2-\sqrt{3}}}=20（{2+\sqrt{3}}）$，
当且仅当AB=BC时，取等号，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BCsinB≤5（{2+\sqrt{3}}）$，
∴△ABC的面积的最大值为$5（{2+\sqrt{3}}）$；
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，
∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD•sinθ=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2sinθ=4$，
∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由余弦定理，得$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CD•cosθ=20+4-8\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=16$，
∴AD=4．
由正弦定理，得$\frac{AD}{sinθ}=\frac{CD}{sinA}$，∴$\frac{4}{sinθ}=\frac{2}{sinA}$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
此时$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴$BC=\frac{ACsinA}{sinB}=4$，
∴BC的长为4．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．