【题目】某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位:万元),将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),年上缴税收范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (I)求直方图中x的值;
(Ⅱ)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠,若共抽取企业1200个,试估计有多少企业可以申请政策优惠;
(Ⅲ)从企业中任选4个,这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【答案】解:(I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1, 解得x=0.0125.
(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,
∴1200×0.12=144.
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠.
(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.
由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25= .
因此X~B(4, ),
∴分布列为P(X=k)= ,(k=0,1,2,3,4),
∴E(X)=4× =1
【解析】(I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1,解得x即可.(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠.(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20= .因此X~B(4, ),可得分布列为P(X=k)= ,(k=0,1,2,3,4),再利用E(X)=4× 即可得出.
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【题目】已知函数f(x)=2cos2x+2 sinxcosx+a,且当x∈[0, ]时,f(x)的最小值为2.
(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象向右平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间[0, ]上所有根之和.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的方程为x+y+3=0,以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ. (Ⅰ)写出圆M的直角坐标方程及过点P(2,0)且平行于l的直线l1的参数方程;
(Ⅱ)设l1与圆M的两个交点为A,B,求 的值.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,若不等式f(x)≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}. (Ⅰ)求实数a的值:
(Ⅱ)若不等式f(3x)+f(x+3)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】下列命题正确的是( )
A.?x0∈R,sinx0+cosx0=
B.?x≥0且x∈R,2x>x2
C.已知a,b为实数,则a>2,b>2是ab>4的充分条件
D.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是 =﹣1
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【题目】某品牌的汽车4S店,对最近100例分期付款购车情况进行统计,统计结果如表所示,已知分9期付款的频率为0.4;该店经销一辆该品牌的汽车.若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人,再从抽出的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η,求η的分布列及数学期望E(η).
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为 (θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ.
(1)化曲线C1 , C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m>0),经过点P作斜率为1的直线,l交曲线C2于A,B两点,求线段AB的长.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)过点P(1, ),离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.
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