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    定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，总有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得 f（0）+f（
    1
    3
    ）+f（
    2
    3
    ）+f（1）+f（
    4
    3
    ）+f（
    5
    3
    ）+f（2）=
    -14
    -14
    ．
    分析：由题意先求出函数的对称中心，进而利用函数图象的对称中心的意义即可求出．
    解答：解：∵已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，
    ∴若取x1=0，则x2=2×1-0=2，
    ∴2b=f（0）+f（2）=0+23-3×22=-4，
    ∴此函数的对称中心为（1，-2）此点在函数图象上．
    ∴f（0）+f（2）=f(
    1
    3
    )+f(
    5
    3
    )    =f(
    2
    3
    )+f(
    4
    3
    )    =f（1）+f（1）=-4，因此可得 f（0）+f（
    1
    3
    ）+f（
    2
    3
    ）+f（1）+f（
    4
    3
    ）+f（
    5
    3
    ）+f（2）=3×（-4）-2=-14．
    故答案为-14．
    点评：正确理解函数图象的对称中心的意义是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
    （Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
    （Ⅱ）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
    （Ⅲ）判断函数f(x)=
    3
    4
    x+
    1
    x
      (x＞0)    是否为闭函数？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为D的函数y=f（x），若对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数y=f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
    ①f（x）=2x；
    ②f（x）=2sin（x+
    π
    4
    ）；     
    ③f（x）=x3-2x2+x；    
    ④f（x）=
    x2
    x2+x+1
    ，
    其中是“倍约束函数”的是
    ①④
    ①④
    ．（将你认为正确的函数序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
    （1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
    （2）判断函数f（x）=
    3
    4
    x+
    1
    x
    （x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，总有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：f(
    1
    2012
    )+f(
    2
    2012
    )+…+f(
    4022
    2012
    )+f(
    4023
    2012
    )    =
    -8046
    -8046
    ．

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