Question

14．已知f（x）=（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，则a₁+…+a₉=2，f（9）+8被8除的余数是7．

Answer 1

分析 根据f（x）=[-1+2（x-1）]⁹，令x=1，可得a₀=-1，令x=2，可得a₁+…+a₉的值．根据f（9）=15⁹=（16-1）⁹ 的解析式，可得除了末项外，其余各项都能被8整除，而末项为-1，从而求得f（9）+8被8除的余数．

解答 解：f（x）=（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，
令x=1，可得a₀=-1，令x=2，可得-1+a₁+…+a₉=1，∴a₁+…+a₉=2．
f（9）=15⁹=（16-1）⁹=${C}_{9}^{0}$•16⁹+${C}_{9}^{1}$•16⁸•（-1）¹+${C}_{9}^{2}$•16⁷•（-1）²+…+${C}_{9}^{8}$•16•（-1）⁸+${C}_{9}^{9}$•（-1）⁹，
除了末项外，其余各项都能被8整除，而末项为-1，故f（9）+8被8除的余数是7，
故答案为：2；7．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，还考查了整除性问题，属于基础题．