Question

已知双曲线C：x2-

y2

4

=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有

4

条．

Answer 1

分析：先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．

解答：解：根据双曲线方程可知a=1
∴右顶点为（1，0），使l与C有且只有一个公共点的情况为：
①当l垂直x轴时，此时过P（1，1）的直线方程为x=1，与双曲线C只要一个公共点
②当l与x轴不垂直时，可设直线方程为y-1=k（x-1）
联立方程

y-1=k(x-1) x2- y2 4 =1

可得（4-k²）x²+2k（k-1）x-（k²-2k+5）=0
（i）当4-k²=0即k=±2时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点
（ii）当4-k²≠0时，△=4k²（1-k）²+4（4-k²）（k²-2k+5）=0，整理可得2k-5=0即k=

5

2

故答案为：4

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用．