Question

（2012•济宁一模）已知函数f(x)=

3

sin(x-?)cos(x-?)-cos2(x-?)(0≤?≤

π

2

)为偶函数．
（I）求函数的单调减区间；
（II）把函数的图象向右平移

π

6

个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求方程g(x)+

1

2

=0的解集．

Answer 1

分析：（I）根据倍角公式和两角差的正弦公式对解析式化简，再由函数是偶函数求出φ的值，再由余弦函数的单调性和整体思想求出函数的递减区间；
（Ⅱ）由平移法则求出函数g（x）的解析式，再代入所给的方程进行求解，最后再用集合形式表示出来．

解答：解：（I）f(x)=

3

sin(x-?)cos(x-?)-cos2(x-?)(0≤?≤

π

2

)
=

3

2

sin2(x-φ)-

1+cos2(x-φ)

2

=sin(2x-2φ-

π

6

)-

1

2

，
∵f（x）为偶函数，0≤?≤

π

2

且，∴-2φ-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，解得φ=

π

6

，
则f（x）=sin(2x-

π

2

)-

1

2

=-cos2x-

1

2

，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得，kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故所求的递减区间是[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z），
（II）函数的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=-cos（2x-

π

3

）-

1

2

，
由方程g(x)+

1

2

=0得，-cos（2x-

π

3

）=0，即cos（2x-

π

3

）=0，解得2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），
即x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
所求的解集为{x|x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z）}．

点评：本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，余弦函数的性质的应用，以及三角函数图象的平移问题，掌握余弦函数的基本性质和解析式正确化简，是解好本题的关键．