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【题目】已知数列 的首项 ,前n项和为 ,且 .
(1)证明数列 是等比数列;
(2)令 ,求函数 在点x=1处的导数 ,并比较 的大小.

【答案】
(1)证明:由已知 ,

∴ 时, ,

①②两式相减,得

从而 .

当n=1 时, ,

∴ .

又 ,故 ,

从而 .

故总有 .

又∵ ,∴ ,从而 ,

即 是以 为首项,2为公比的等比数列.


(2)证明:由(1)可知 .

∵ ,

∴ .

从而

.

. (*)

当n=1时,(*)式=0,

∴ ;

当n=2 时,(*)式=-12<0,

∴ ;

当 时, ,

又 ,

∴ ,

即(*)式>0,从而 .


【解析】本题主要考查了比较法证明不等式,解决问题的关键是根据在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化. 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中,大小问题可能会随“n”变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面 的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.

练习册系列答案
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