已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,且0<q<.
(1)在数列{an}中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由;
(2)若a1=1,且对任意正整数k,ak-(ak+1+ak+2)仍是该数列中的某一项.
(ⅰ)求公比q;
(ⅱ)若bn=-logan+1(+1),Sn=b1+b2+…+bn,Tr=S1+S2+…+Sn,试用S2011表示T2011.
(1)不可能(2)(ⅰ)q=-1(ⅱ)T2011=2012S2011-2011
【解析】(1)由条件知an=a1qn-1,0<q<,a1>0,所以数列{an}是递减数列.若有ak,am,an(k<m<n)成等差数列,则中项不可能是ak(最大),也不可能是an(最小),
若2am=ak+an?2qm-k=1+qn-k,(*)
由2qm-k≤2q<1,1+qh-k>1,知(*)式不成立,
故ak,am,an不可能成等差数列.
(2)(ⅰ)(解法1)ak-ak+1-ak+2=a1qk-1(1-q-q2)=a1qk-1,
由∈,知ak-ak+1-ak+2<ak<ak-1<…,
且ak-ak+1-ak+2>ak+2>ak+3>…,
所以ak-ak+1-ak+2=ak+1,即q2+2q-1=0,
所以q=-1.
(解法2)设ak-ak+1-ak+2=am,则1-q-q2=qm-k,
由1-q-q2∈知m-k=1,即m=k+1,
以下同解法1.
(ⅱ)bn=,
(解法1)Sn=1+++…+,
Tn=1+++…+
=n+=n-
=nSn-[(1-)+(1-)+(1-)+…+(1-)]
=nSn-=nSn-
=nSn-n+Sn=(n+1)Sn-n,所以T2011=2012S2011-2011.
(解法2)Sn+1=1+=Sn+,所以(n+1)Sn+1-(n+1)Sn=1,
所以(n+1)Sn+1-nSn=Sn+1,2S2-S1=S1+1,3S3-2S2=S2+1,……
(n+1)Sn+1-nSn=Sn+1,累加得(n+1)Sn+1-S1=Tn+n,
所以Tn=(n+1)Sn+1-1-n=(n+1)Sn-n=(n+1)(Sn+bn)-1-n
=(n+1)-1-n=(n+1)Sn-n,
所以T2011=2012S2011-2011
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知如图①所示,矩形纸片AA′A1′A1,点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点,将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱),若面对角线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1.
(图①)
(图②)
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知点P、Q,平面α,将命题“P∈α,QαPQα”改成文字叙述是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a100·+a101,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷(解析版) 题型:解答题
设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知等差数列{an}是递增数列,且满足a4·a7=15,a3+a8=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(n≥2),b1=,求数列{bn}的前n项和Sn.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第4课时练习卷(解析版) 题型:填空题
一个等差数列前4项之和为26,最末4项之和为110,所有项之和为187,则它的项数为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
设a>0,若an=且数列{an}是递增数列,则实数a的范围是__________.
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