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已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q0q.

(1)在数列{an}中是否存在三项使其成等差数列?说明理由;

(2)a11且对任意正整kak(ak1ak2)仍是该数列中的某一项.

(ⅰ)求公比q

(ⅱ)bn=-logan1(1)Snb1b2bnTrS1S2Sn试用S2011表示T2011.

 

1不可能2(ⅰ)q1(ⅱ)T20112012S20112011

【解析】(1)由条件知ana1qn10qa10所以数列{an}是递减数列.若akaman(kmn)成等差数列则中项不可能是ak(最大)也不可能是an(最小)

2amakan?2qmk1qnk(*)

2qmk2q11qhk1(*)式不成立

akaman不可能成等差数列.

(2)(ⅰ)(解法1)akak1ak2a1qk1(1qq2)a1qk1

akak1ak2akak1

akak1ak2ak2ak3

所以akak1ak2ak1q22q10

所以q1.

(解法2)akak1ak2am1qq2qmk

1qq2mk1mk1

以下同解法1.

(ⅱ)bn

(解法1)Sn1

Tn1

nn

nSn[(1)(1)(1)(1)]

nSnnSn

nSnnSn(n1)Snn所以T20112012S20112011.

(解法2)Sn11Sn所以(n1)Sn1(n1)Sn1

所以(n1)Sn1nSnSn12S2S1S113S32S2S21

(n1)Sn1nSnSn1累加得(n1)Sn1S1Tnn

所以Tn(n1)Sn11n(n1)Snn(n1)(Snbn)1n

(n1)1n(n1)Snn

所以T20112012S20112011

 

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(①)

(②)

 

 

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