Question

5．已知函数f（x）=lg$\frac{kx-1}{x-1}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调增，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，对k进行分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调增，则t=$\frac{kx-1}{x-1}$为增函数，且当x=2时，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，解得k的取值范围．

解答 解：（1）当k=0时，$\frac{kx-1}{x-1}$=$\frac{-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1），即此时函数f（x）的定义域为（-∞，1），
当k＜0时，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（$\frac{1}{k}$，1），即此时函数f（x）的定义域为（$\frac{1}{k}$，1），
当0＜k＜1时，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞），即此时函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞），
当k=1时，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1）∪（1，+∞），即此时函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
当k＞1时，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞），即此时函数f（x）的定义域为（-∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞），
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调增，则t=$\frac{kx-1}{x-1}$=$\frac{k-1}{x-1}+k$为增函数，且当x=2时，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}k-1＜0\\ 2k-1＞0\end{array}\right.$，
解得：k∈（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．