Question

已知f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，g（x）=2cos²x+sinx+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于任意x₁∈[

1

e

，e]，总存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先利用函数的导数求出函数的单调区间，主要强调求区间的步骤．
（Ⅱ）对于任意x₁∈[

1

e

，e]，总存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，主要考虑恒成立问题及存在性问题的综合应用，即f（x）_max≤g（x）_max．进一步确定复合函数的最值，进一步求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2x

-

1

2

=

1-x

2x

(x＞0)
由f'（x）=0得x=1
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值	↘

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[

1

e

，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减
∴对于x∈[

1

e

，e]，f(x)max=f(1)=-

1

2

当x∈[0，

π

2

]时，0≤sinx≤1，g（x）=2cos²x+sinx+a=2（1-sin²x）+sinx+a=-2sin2x+sinx+a+2=-2(sinx-

1

4

)2+a+

17

8

．
所以当sinx=

1

4

时，g(x)max=a+

17

8

．
对于任意x1∈[

1

e

，e]，总存在x2∈[0，

π

2

]，
使得f（x₁）≤g（x₂）成立，即f（x）_max≤g（x）_max．
即：-

1

2

≤a+

17

8

，解得a≥-

21

8

所以实数a的取值范围是 [-

21

8

，+∞)

点评：本题考查的知识要点：利用导数求函数的单调区间，恒成立问题和存在性问题在函数中的应用，以及复合型函数的值域