Question

在各项均为负数的数列{a_n}中，已知点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=

2

3

x的图象上，且a2•a5=

8

27

．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求出其通项；
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是

3

2

，再根据条件a2•a5=

8

27

求出首项即可求出这个数列的通项公式；
（2）数列b_n是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可．

解答：解：（1）因为点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=

2

3

x的图象上，
所以an+1=

2

3

an，即

an+1

an

=

2

3

，故数列a_n是公比q=

2

3

的等比数列
因为a2a5=

8

27

，则a 1q•a1q4=

8

27

，即

a

2 1

(

2

3

)5=(

2

3

)3，由于数列a_n的各项均为负数，则a1=-

3

2

所以an=-(

2

3

)n-2．（6分）
（2）由（1）知，an=-(

2

3

)n-2，bn=-(

2

3

)n-2+n，
所以Sn=3•(

2

3

)n-1+

n2+n-9

2

．（12分）

点评：本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和．高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面．解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比．数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法．