Question

如图，点P为斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N.

(1)求证：CC₁⊥MN.

(2)在任意△DEF中，有由余弦定理DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出一个斜三棱柱的三个侧面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明．

Answer 1

证明：(1)∵CC₁∥BB₁⇒CC₁⊥PM.

又CC₁⊥PN，且PM、PN为平面PMN内两相交的直线，

∴CC₁⊥平面PMN⇒CC₁⊥MN.

(2)在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所成的二面角．

∵CC₁⊥平面PMN，

∴上述的二面角为∠MNP.

在△PMN中，PM²＝PN²＋MN²－2PN·MN·cos∠MNP

⇒PM²·CC＝PN²·CC＋MN²·CC－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，