Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a²=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc，sinA=2sinB．
（1）求cosA；
（2）求cos（2A-B）

Answer 1

分析 （1）由已知条件和余弦定理可得可得cosA的值；
（2）由同角三角函数基本关系可得sin2A和cos2A的值，进而可得sinB和cosB的值，再由两角和与差的三角函数公式可得．

解答 解：（1）∵a²=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc，
∴b²+c²-a²=$\frac{1}{2}$bc，
两边同除以2bc可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{4}$；
（2）∵cosA=$\frac{1}{4}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
cos2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{8}$，
又∵sinA=2sinB，∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{16}$，
∴a=2b，即A＞B，故B为锐角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{4}$，
∴cos（2A-B）=cos2AcosB+sin2AsinB
=$-\frac{7}{8}×\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{8}×\frac{\sqrt{15}}{16}$=-$\frac{13}{128}$

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和同角三角函数的基本关系，属基础题．