Question

【题目】已知等差数列{}满足： ＝2，且成等比数列.

(1）求数列{}的通项公式.

(2）记为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1）an＝2或an＝4n－2(2）当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

【解析】试题分析：(1）设出等差数列的公差d，由成等比数列列式求得d，则数列{an}的通顶公式可求；

(2）把代入，求出n的范围，由n是负值，说明不存在正整数n，使得

试题解析：(1）设数列{an}的公差为d，依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，

故有(2＋d）2＝2(2＋4d），

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1）·4＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2

(2）当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立.

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去），

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.