Question

【题目】2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；
（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由频率分布直方图得：

（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，

解得a=0.035

（2）解：分层抽样的方法在第3组中应抽取 =7人，

设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，

则 为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，

则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：

P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（3）解：X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3， ），

且P（X=k）= ，k=0，1，2，3，

∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

EX=np=3× =

【解析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则 为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率．（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3， ），由此能求出X的分布列和数学期望．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．