分析 (1)利用向量共线定理、两角和的正弦公式列出方程并化简,由正弦函数的性质求出函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)由(1)化简f(A-$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$,由A的范围和特殊角的三角函数值求出A,由题意和平方关系求出cosB的值,分三种情况,由诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC的值.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx)、$\overrightarrow{b}$=(1,f(x)),且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$,
∴$\frac{1}{2}$f(x)-($\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx)=0,
化简得f(x)=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin(x+\frac{π}{3})$,
∴函数f(x)的最小正周期是2π,
当$sin(x+\frac{π}{3})$=1时,f(x)取到最大值是2;
(2)由(1)得,f(A-$\frac{π}{3}$)=2sinA=$\sqrt{3}$,则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵0<A<π,∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$,
∵sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,∴cosB=±$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,
当A=$\frac{π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时,
sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$;
当A=$\frac{2π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时,
sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$;
当A=$\frac{π}{3}$、cosB=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时,
sinC=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$-\frac{\sqrt{21}}{14}$<0,舍去,
综上,sinC的值是$\frac{3\sqrt{21}}{14}$或$\frac{\sqrt{21}}{14}$.
点评 本题考查了向量共线定理的坐标运算,诱导公式、两角和的正弦公式等,正弦函数的性质的应用,考查分类讨论思想,化简、计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{3}$ | C. | 3$\sqrt{5}$ | D. | 3$\sqrt{6}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com