Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）和向量$\overrightarrow{b}$=（1，f（x）），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，若有f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理、两角和的正弦公式列出方程并化简，由正弦函数的性质求出函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）由（1）化简f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，由题意和平方关系求出cosB的值，分三种情况，由诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）、$\overrightarrow{b}$=（1，f（x）），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{1}{2}$f（x）-（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=0，
化简得f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∴函数f（x）的最小正周期是2π，
当$sin（x+\frac{π}{3}）$=1时，f（x）取到最大值是2；
（2）由（1）得，f（A-$\frac{π}{3}$）=2sinA=$\sqrt{3}$，则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∵sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，∴cosB=±$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
当A=$\frac{π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时，
sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$；
当A=$\frac{2π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时，
sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$；
当A=$\frac{π}{3}$、cosB=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时，
sinC=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$-\frac{\sqrt{21}}{14}$＜0，舍去，
综上，sinC的值是$\frac{3\sqrt{21}}{14}$或$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了向量共线定理的坐标运算，诱导公式、两角和的正弦公式等，正弦函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、计算能力．