【题目】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 ( )
(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为y,则,所以,又,所以,即,解得.
【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法,对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于难题.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6
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【题目】已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的命题:
x | ﹣1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
(1)函数y=f(x)是周期函数;
(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;
(3)如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
(4)当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点.
其中真命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知函数f(x)= 其中P,M是非空数集,且P∩M=,设f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.
(I)若P=(﹣∞,0),M=[0,4],求f(P)∪f(M);
(II)是否存在实数a>﹣3,使得P∪M=[﹣3,a],且f(P)∪f(M)=[﹣3,2a﹣3]?若存在,请求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由;
(III)若P∪M=R,且0∈M,I∈P,f(x)是单调递增函数,求集合P,M.
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
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【题目】已知数列是递增数列,且对,都有,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由{an}是递增数列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解.
∵{an}是递增数列,
∴an+1>an,
∵an=n2+λn恒成立
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
∴λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立.
而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3,
∴λ>﹣3,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由数列的单调性来构造不等式,解决恒成立问题.研究数列单调性的方法有:比较相邻两项间的关系,将an+1和an做差与0比较,即可得到数列的单调性;研究数列通项即数列表达式的单调性.
【题型】单选题
【结束】
13
【题目】已知数列{an}满足a1=1,且an=an-1+2n1 (n≥2 ),则a20=________.
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【题目】对于不等式,则对区间上的任意x都成立的实数t的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
根据二次函数的单调性求出x2﹣3x+2在区间[0,2]上的最小值和最大值,把问题转化关于t的不等式组得答案.
∵x2﹣3x+2=,
∴当x∈[0,2]时,,(x2﹣3x+2)max=2.
∴.
∴对于不等式(2t﹣t2)≤x2﹣3x+2≤3﹣t2,对区间[0,2]上任意x都成立的实数t的取值范围是[﹣1,1﹣].
故答案为:[﹣1,1﹣].
【点睛】
本题考查函数恒成立问题,考查了不等式的解法,体现了数学转化思想方法,是基础题.二次不等式分含参二次不等式和不含参二次不等式;对于含参的二次不等式问题,先判断二次项系数是否含参,接着讨论参数等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能够因式分解则进行分解,再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.
【题型】填空题
【结束】
16
【题目】等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列,若=1,Sn是{}的前n项和,则的最小值为________.
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【题目】曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.
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【题目】已知:函数,当x∈(-3,2)时,>0,当x∈(-,-3)(2,+)时,<0
(I)求a,b的值;
(II)若不等式的解集为R,求实数c的取值范围.
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