Question

设第一象限内的点（x，y）满足约束条件

2x-y-6≤0 x-y+2≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则

5

a

+

1

b

的最小值为：

9

4

．

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而

5

a

+

1

b

=(

5

a

+

1

b

)

4a+5b

20

=

5

4

+(

5b

4a

+

a

5b

)≥

5

4

+1=

9

4

．
当且仅当

5b

4a

=

a

5b

时取等号，
则

5

a

+

1

b

的最小值为

9

4

．
故答案为

9

4

．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．