Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=$\frac{π}{3}$，cos∠ADB=$\frac{1}{7}$．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．
（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=-$\frac{1}{2}$，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=$\frac{1}{7}$，∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．--------------------------（3分）
根据正弦定理，有$\frac{BD}{sin∠A}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，--------------------------（6分）
代入AB=8，∠A=$\frac{π}{3}$．
解得BD=7．--------------------------（7分）
（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$．----------------------（10分）
代入BC=3，CD=5，得cos∠C=-$\frac{1}{2}$，∠C∈（0，π）所以$∠C=\frac{2π}{3}$，---------（12分）
所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，
所以∠ABC+∠ADC=π．-------（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．