Question

关于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R⁺），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z-m-ni|的取值范围是________．

Answer 1

[，]
分析：由题意求得方程的另一个根为 1-ni，由根与系数的关系可得m=-2，n²=1．满足|z|=1的复数z在以原点O为
圆心的单位圆上，而|z-m-ni|表示点z到点M（m，n）的距离，求得|OM|的值，即可得到|z-m-ni|的取值范围．
解答：∵关于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R⁺），∴另一个根为 1-ni，
由根与系数的关系可得 （1+ni）+（1-ni）=-m，且 （1+ni）（1-ni）=2．
解得 m=-2，n²=1．
满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z-m-ni|表示点z到点M（m，n）的距离．
而|OM|===，故|z-m-ni|的最小值为 -1，最大为 +1
故|z-m-ni|的取值范围为[-1，+1]，
故答案为[-1，+1]．
点评：本题主要考查韦达定理、复数的模的定义，以及两个复数的差的绝对值的意义，属于基础题．