Question

中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点。若分别过椭圆的左右焦点、的动直线、相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、、、满足．

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；
（2）存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．

试题分析：（1）设椭圆方程为，则由题意知，则
，则椭圆方程为，代入点的坐标可得
，所求椭圆方程为
（2）当直线或斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．
当直线斜率存在时，设斜率分别为，，设，，
由得　，∴ ，．
，同理．∵， ∴，即．又，　∴．
设，则，即，
由当直线或斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，∴点椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．
点评：中档题，结合椭圆的几何性质，应用“待定系数法”求得了椭圆方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。（II）中对两直线斜率存在情况进行讨论，易于忽视。