【题目】已知函数, .
(1)若曲线在处的切线方程为,求实数的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)若在上存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析:(1)求出函数y的导数,可得切线的斜率,由切线方程可得a的方程,解得a即可;
(2)由题意可得即为,令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)递增,求出导数,令导数大于等于0,分离参数a,由二次函数的最值,即可得到a的范围;
(3)原不等式等价于,整理得,设,求得它的导数m'(x),然后分a≤0、0<a≤e﹣1和a>e﹣1三种情况加以讨论,分别解关于a的不等式得到a的取值,最后综上所述可得实数a的取值范围.
试题解析:
(1)由,得.
由题意, ,所以.
(2).
因为对任意两个不等的正数,都有恒成立,设,
则即恒成立.
问题等价于函数,即在上为增函数,
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以,即实数的取值范围是.
(3)不等式等价于,整理得.
设,
由题意知,在上存在一点,使得.
.
因为,所以,令,得.
①当,即时, 在上单调递增.
只需,解得.
②当即时, 在处取最小值.
令即,可得.
令,即,不等式可化为.
因为,所以不等式左端大于1,右端小于等于1,所以不等式不能成立.
③当,即时, 在上单调递减,只需,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
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【题目】已知函数为奇函数.
(1)求a的值,并证明是R上的增函数;
(2)若关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求实数k的取值范围.
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【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取人对共享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
(Ⅰ)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系?
(Ⅱ)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人,再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢,求恰有人是女性的概率.
参考公式: .
临界值表:
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【题目】采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,,,分组后某组抽到的号码为41.抽到的人中,编号落入区间 的人数为( )
A. 10 B. C. 12 D. 13
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【题目】如图,已知椭圆的长轴长为4,离心率为,过点的直线l交椭圆于两点,与x轴交于P点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.
(1)求椭圆方程;
(2)求证:为定值.
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【题目】是定义在上的奇函数,对,均有,已知当时, ,则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于对称 B. 有最大值1
C. 在上有5个零点 D. 当时,
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为 (为参数)
写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线,设为上任意一点,
求的最小值,并求相应的点的坐标.
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【题目】在中, , , , 是中点(如图1).将沿折起到图2中的位置,得到四棱锥.
(1)将沿折起的过程中, 平面是否成立?并证明你的结论;
(2)若,过的平面交于点,且为的中点,求三棱锥的体积.
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