Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

．
（Ⅰ）当x∈[

π

6

，

π

2

]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，若f（x）=8，求函数f(x-

π

12

)的值．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5，根据x∈[

π

6

，

π

2

]得2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域；
（II）根据f（x）=8，得sin（2x+

π

6

）=

3

5

，再利用配角公式算出sin2x的值，而f(x-

π

12

)=5sin2x+5，将sin2x代入即得f(x-

π

12

)的值．．

解答：解：（I）∵

a

•

b

=5

3

sinxcosx+2cos²x，

|b|

2=sin²x+4cos²x
∴f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+3（1+cos2x）+

1

2

（1-cos2x）+

3

2

=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+5=5sin（2x+

π

6

）+5
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]
因此，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，可得函数f（x）的值域是[

5

2

，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+

π

6

）+5=8，得sin（2x+

π

6

）=

3

5

∵x∈[

π

6

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]
∴cos(2x+

π

6

)=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+

π

6

）-

π

6

]=

3

5

•

3

2

-（-

4

5

）•

1

2

=

3 3 +4

10

因此，f(x-

π

12

)=5sin2x+5=

3 3

2

+7．…（12分）

点评：本题以向量的数量积运算和模的计算为载体，考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．