Question

【题目】已知函数．

（1）求函数y=g（x）的图象在处的切线方程；

（2）求y=g（x）的最大值；

（3）令f（x）=ax2+bx﹣x（g（x））（a，b∈R）．若a≥0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)求出原函数的导函数，得到,求出,由直线方程的点斜式得结果；(2) 求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；由导数求的单调区间，进一步求得函数的极值，得到最大值；(3) 讨论和及的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

（1）定义域x∈（0，+∞），，

，，

∴切线方程为，即2e2x﹣y﹣3e=0；

（2）定义域x∈（0，+∞），

由=0，得x=e，

当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；

当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．

∴x=e是极大值点，极大值为．

∵在x∈（0，+∞）上，极值点唯一，

∴是最大值；

（ 3）由f（x）=ax2+bx﹣lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=．

①当a=0时，f'（x）=．

若b≤0，当x＞0时，f'（x）＜0恒成立，

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．

若b＞0，当0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．

当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（,）．

②当a＞0时，令f'（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0．

由△=b2+8a＞0，得x1=，x2=．

显然，x1＜0，x2＞0．

当0＜x＜x2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x＞x2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，x2），单调递增区间是（x2，+∞）．

综上所述，

当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；

当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，x2），单调递增区间是（x2，+∞）．