Question

已知A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2

3

，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根据线段AB的长为2

3

，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；
（2）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；
②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求

PE

•

QE

，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将

PE

•

QE

表示出来，使其与k无关即可求出m的值．

解答：解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中点，∴x=

a+b

2

，y=

a-b

2

，
∵|AB|=2

3

，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴点D的轨迹C的方程为x²+y²=3．
（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，

2

），Q（1，-

2

），此时|PQ|=2

2

，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为

3

2

，
由

|-k|

k2+1

=

3

2

，解得k=±

3

．故直线l的方程为y=±

3

（x-1）．
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则由韦达定理得x₁+x₂=

2k2

k2+1

，x₁x₂=

k2-3

k2+1

，
则

PE

=（m-x₁，-y₁），

QE

=（m-x₂，-y₂），
∴

PE

•

QE

=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-

2mk2

k2+1

+

k2-3

k2+1

+k² （

k2-3

k2+1

-

2k2

k2+1

+1）=

(m2-2m-1)k2+m2-3

k2+1

要使上式为定值须

m2-2m-1

m2-3

=1，解得m=1，∴

PE

•

QE

为定值-2，
当直线l的斜率不存在时P（1，

2

），Q（1，-

2

），
由E（1，0）可得

PE

=（0，-

2

），

QE

=（0，

2

），
∴

PE

•

QE

=-2，
综上所述当E（1，0）时，

PE

•

QE

为定值-2．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及轨迹问题和直线和圆的方程的应用，同时考查转化的思想和计算的能力，属于中档题．