Question

如图，直线l₁：y=kx（k＞0）与直线l₂：y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．
（Ⅰ）分别用不等式组表示W₁和W₂．
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

Answer 1

分析：（I）根据图象可知W₁是直线y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合，W₂是y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合进而可得答案．
（II）利用点到直线的距离根据动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于d²，建立等式，求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅲ）先看当直线l与x轴垂直时设直线l的方程为x=a，进而求得M₁M₂，M₃M₄的中点坐标，判断出△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为（

2

3

a，0），再看直线l₁与x轴不垂直时，设出直线l的方程与P的轨迹方程联立，消去y，判别式大于0，设M₁，M₂的坐标，表示出x₁+x₂和y₁+y₂，设M₃，M₄的坐标把直线y=kx和y=mx+n表示出x₃和x₄，求得x₃+x₄=

2mn

k2-m2

=x₁+x₂，进而求得y₃+y₄=y₁+y₂，推断出△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

解答：解：（I）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，
故y的范围可知kx＜y＜-kx，且x＜0，
阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=-kx的上方，x＞0
∴W₁={（x，y）|kx＜y＜-kx，x＜0}，W₂={（x，y）|-kx＜y＜kx，x＞0}，
（II）直线l₁：kx-y=0，直线l₂：kx+y=0，由题意得

|kx-y|

k2+1

•

|kx+y|

k2+1

=d²，即

|k2x2-y2|

k2+1

=d²，
由P（x，y）∈W，知k²x²-y²＞0，
所以

k2x2-y2

k2+1

=d²，即k²x²-y²-（k²+1）d²=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k²x²-y²-（k²+1）d²=0；
（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0）．
由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l₁与l₂关于x轴对称，
于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为（

2

3

a，0），即它们的重心重合，
当直线l₁与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由

k2x2-y2-(k2+1)d2=0 y=mx+n

，得（k²-m²）x²-2mnx-n²-k²d²-d²=0
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k²-m²≠0且
△=（2mn）²+4（k²-m²）×（n²+k²d²+d²）＞0
设M₁，M₂的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

2mn

k2-m2

，y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，
设M₃，M₄的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由

y=kx y=mx+n

得x₃=

n

k-m

，x₄=

-n

k+m

从而x₃+x₄=

2mn

k2-m2

=x₁+x₂，
所以y₃+y₄=m（x₃+x₄）+2n=m（x₁+x₂）+2n=y₁+y₂，
于是△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心也重合．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理和数形结合的思想的运用．