Question

如图．在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭锥D一ECB的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用面面垂直的判定定理即可证明；
（3）取CD的中点F，连接EF，利用三角形的中位线定理可得EF⊥底面ABCD，由V_{三棱锥D-ECB}=V_{三棱锥E-BCD}即可求出体积．

解答：解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，∴EO∥PA．
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC．
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB．
（3）取CD的中点F，连接EF，
则EF∥PD，EF=

1

2

PD=1，
∵PD⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD．
∴V_{三棱锥D-ECB}=V_{三棱锥E-BCD}=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

．

点评：熟练掌握线面、面面的平行与垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理及等积变形是解题的关键．