分析:(1)记棱B1C1的中点为G,连接BG、GM、GN,GM与B1D1的交点为H,连接BH,由正方体的几何特征,结合异面直线夹角的定义可得,∠MBG是异面直线AN与BM所成的角,利用余弦定理,可得异面直线AN与BM所成角的正弦值;
(2)由已知中B1H是等腰三角形MB1G的顶角平分线,结合等腰三角形三线合一的性质,可得BH⊥MH,再由BB1⊥平面A1B1C1D1,可得BB1⊥MH,结合线面垂直的判定定理,可得MH⊥平面DBB1D1,即MH为三棱锥M-DBB1的高,计算出棱锥的底面积和高后,即可得到三棱锥M-DBB1的体积.
解答:解:(1)记棱B
1C
1的中点为G,连接BG、GM、GN,GM与B
1D
1的交点为H,连接BH,如图所示.…(1分)
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是正方体,G、N是中点,
∴GN
A1B1AB,即ABGN为平行四边形.
∴BG||AN,∠MBG是异面直线AN与BM所成的角.…(3分)
又正方体的棱长为a,可得BM=BG=
a,MG=
a.
∴cos∠MBG=
=. …(6分)
∴sin∠MBG=
.…(7分)
(2)∵B
1H是等腰三角形MB
1G的顶角平分线,
∴H是GM的中点,且BH⊥MH(BH是等腰三角形MBG底边上的中线).…(9分)
∵BB
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,MH?平面A
1B
1C
1D
1,
∴BB
1⊥MH.
∴MH⊥平面DBB
1D
1,即MH为三棱锥M-DBB
1的高.…(12分)
∴
VM-DBB1=
••DB•BB1•MH
=
•a•a•a
=
a3(体积单位). …(14分)
点评:本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,棱锥的体积,其中(1)的关键是构造出∠MBG是异面直线AN与BM所成的角,(2)的关键是证得MH为三棱锥M-DBB1的高.