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(2009•黄浦区一模)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M是棱A1B1的中点,N是棱A1D1的中点.
(1)求异面直线AN与BM所成角的正弦值;
(2)求三棱锥M-DBB1的体积.
分析:(1)记棱B1C1的中点为G,连接BG、GM、GN,GM与B1D1的交点为H,连接BH,由正方体的几何特征,结合异面直线夹角的定义可得,∠MBG是异面直线AN与BM所成的角,利用余弦定理,可得异面直线AN与BM所成角的正弦值;
(2)由已知中B1H是等腰三角形MB1G的顶角平分线,结合等腰三角形三线合一的性质,可得BH⊥MH,再由BB1⊥平面A1B1C1D1,可得BB1⊥MH,结合线面垂直的判定定理,可得MH⊥平面DBB1D1,即MH为三棱锥M-DBB1的高,计算出棱锥的底面积和高后,即可得到三棱锥M-DBB1的体积.
解答:解:(1)记棱B1C1的中点为G,连接BG、GM、GN,GM与B1D1的交点为H,连接BH,如图所示.…(1分)
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,G、N是中点,
∴GN
||
.
.
A1B1
||
.
.
AB,即ABGN为平行四边形.
∴BG||AN,∠MBG是异面直线AN与BM所成的角.…(3分)
又正方体的棱长为a,可得BM=BG=
5
2
a,MG=
2
2
a.
∴cos∠MBG=
(
5
2
a)
2
+(
5
2
a)
2
-(
2
2
a)
2
2
5
2
a•
5
2
a
=
4
5
. …(6分)
∴sin∠MBG=
3
5
.…(7分)
(2)∵B1H是等腰三角形MB1G的顶角平分线,
∴H是GM的中点,且BH⊥MH(BH是等腰三角形MBG底边上的中线).…(9分)
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,MH?平面A1B1C1D1
∴BB1⊥MH.
∴MH⊥平面DBB1D1,即MH为三棱锥M-DBB1的高.…(12分)
VM-DBB1=
1
3
1
2
•DB•BB1
•MH
=
1
6
2
a•a•
2
4
a
=
1
12
a3
(体积单位).  …(14分)
点评:本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,棱锥的体积,其中(1)的关键是构造出∠MBG是异面直线AN与BM所成的角,(2)的关键是证得MH为三棱锥M-DBB1的高.
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3
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(x1-
.
x
)
2
+(x2-
.
x
)
2
+…+(xn-
.
x
)
2
n-1
(n≥2)
可作为总体标准差的点估计值;
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