Question

【题目】定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），则f（x）在R上的值域是（ ）
A.R
B.（0，1）
C.（0，+∞）
D.（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：因为定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y），
令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1
再令y=﹣x，则可得f（0）=f（x）f（﹣x）=1，
又f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），
所以f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（1，+∞）
综上，f（x）在R上的值域是R
故选A．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．