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9.经市场调查,某商品在过去100天内销售量和价格均为时间t(天)的函数,
且日销售量近似地满足g(t)=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{112}{3}$(1≤t≤100,t∈N).前40天的价格为f(t)=$\frac{1}{4}$t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-$\frac{1}{2}$t+52(41≤t≤100,t∈N),
(1)试求该商品的日销售额S(t)解析式;
(2)当t取何值时,日销售额S(t)取最大值和最小值并求出最大值和最小值.

分析 (1)利用S(t)=g(t)f(t),求出函数的解析式即可;
(2)通过当1≤t≤40,t∈N时,求出函数的最值,当41≤t≤100,t∈N时,求出函数的最值即可.

解答 解:(1)S(t)=g(t)f(t);
$S(t)=\left\{\begin{array}{l}(-\frac{1}{3}t+\frac{112}{3})(\frac{1}{4}t+22),(1≤t≤40,t∈N)\\(-\frac{1}{2}t+52)(-\frac{1}{3}t+\frac{112}{3})(41≤t≤100,t∈N)\end{array}\right.$(7分)
若化简也可,化简错扣(2分).
(2)当1≤t≤40,t∈N时:$S(t)=-\frac{1}{12}{(t-12)^2}+\frac{2500}{3}$
此时$768=S(40)≤S(t)≤S(12)=\frac{2500}{3}$(10分)
当41≤t≤100,t∈N时$S(t)=\frac{1}{6}{(t-108)^2}-\frac{8}{3}$
此时$8=S(100)≤S(t)≤S(41)=\frac{1491}{2}$(13分)
综上:当t=12时S(t)取最大值为$\frac{2500}{3}$;当t=100时最小值是:8.

点评 本题考查函数的实际应用,考查计算能力.

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