Question

9．经市场调查，某商品在过去100天内销售量和价格均为时间t（天）的函数，
且日销售量近似地满足g（t）=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{112}{3}$（1≤t≤100，t∈N）．前40天的价格为f（t）=$\frac{1}{4}$t+22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为f（t）=-$\frac{1}{2}$t+52（41≤t≤100，t∈N），
（1）试求该商品的日销售额S（t）解析式；
（2）当t取何值时，日销售额S（t）取最大值和最小值并求出最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用S（t）=g（t）f（t），求出函数的解析式即可；
（2）通过当1≤t≤40，t∈N时，求出函数的最值，当41≤t≤100，t∈N时，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）S（t）=g（t）f（t）；
$S（t）=\left\{\begin{array}{l}（-\frac{1}{3}t+\frac{112}{3}）（\frac{1}{4}t+22），（1≤t≤40，t∈N）\\（-\frac{1}{2}t+52）（-\frac{1}{3}t+\frac{112}{3}）（41≤t≤100，t∈N）\end{array}\right.$（7分）
若化简也可，化简错扣（2分）．
（2）当1≤t≤40，t∈N时：$S（t）=-\frac{1}{12}{（t-12）^2}+\frac{2500}{3}$
此时$768=S（40）≤S（t）≤S（12）=\frac{2500}{3}$（10分）
当41≤t≤100，t∈N时$S（t）=\frac{1}{6}{（t-108）^2}-\frac{8}{3}$
此时$8=S（100）≤S（t）≤S（41）=\frac{1491}{2}$（13分）
综上：当t=12时S（t）取最大值为$\frac{2500}{3}$；当t=100时最小值是：8．

点评 本题考查函数的实际应用，考查计算能力．