Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=

2

，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，先求平面AC₁D的一个法向量，再证明：

BE

•

n

=0即可；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小，只需求两平面的法向量的夹角即可．

解答：（Ⅰ）证明：以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），A1(1，0，

2

)，C1(0，1，

2

)，D(0，0，

2

2

)，E(

1

2

，

1

2

，0)，

AD

=(-1，0，

2

2

)，

C1D

=(0，-1，-

2

2

)，
设平面AC₁D的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则由

AD

•

n

=0和

C1D

•

n

=0⇒-x+

2

2

z=0，-y-

2

2

z=0，
取x=1，y=-1，z=

2

，所以法向量

n

=(1，-1，

2

)，
又

BE

=(

1

2

，

1

2

，0)，

BE

•

n

=

1

2

-

1

2

+0=0，
因为

BE

?平面AC₁D，所以BE∥平面AC₁D．
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC₁D的法向量为

n

=(1，-1，

2

)．
又平面A₁AD的法向量为

m

=(0，1，0)，所以cos(

n

，

m

)=

n • m

| n || m |

=-

1

2

⇒＜

n

，

m

＞=120°，
由图可知，所求的二面角为锐角，所以二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量．