Question

已知sin(x+

π

6

)=

1

3

，则sin2x的值为

-7 3 ±4 2

18

．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数展开表达式，通过平方即可求解sin2x与cos2x的关系式，然后求解sin（2x-

π

6

）与cos（2x-

π

6

）的值．通过角的变换求解sin2x．

解答：解：因为sin(x+

π

6

)=

1

3

，
所以sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

=

1

3

，
即

3

2

sinx+

1

2

cosx=

1

3

，
两边平方可得

3

4

sin2x+

3

4

sin2x+

1

4

cos2x=

1

9

，

1-cos2x

4

+

3

4

sin2x=-

5

36

，
所以sin（2x-

π

6

）=-

7

9

，cos（2x-

π

6

）=±

4 2

9

．
所以sin2x=sin（2x-

π

6

+

π

6

）=sin（2x-

π

6

）cos

π

6

+sin

π

6

cos（2x-

π

6

）=-

7

9

×

3

2

±

1

2

×

4 2

9

=

-7 3 ±4 2

18

．
故答案为：

-7 3 ±4 2

18

点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，角的变换的技巧，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．