Question

已知函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2sinωx，-1），

b

=(2sin(

2π

3

-ωx)，1)，ω＞0，f（x）的图象与直线y=-2的交点的横坐标成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，A=

3

，b+c=3，F（A）=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积可得f（x）=

a

•

b

=2sin（2ωx-

π

6

），再结合“f（x）的图象与直线y=-2的交点的横坐标成公差为π的等差数列”可得T=π，从而可得ω，于是得到f（x）的解析式；
（2）根据a=

3

，b+c=3，F（A）=2，利用余弦定理可求得bc=2，继而可得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=2sinωx•2sin（

2π

3

-ωx）-1
=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）的图象与直线y=-2的交点的横坐标成公差为π的等差数列，
∴T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∴A=

π

3

．
∵3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b-c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=2，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题以平面向量数量积的运算为载体考查角函数中的恒等变换应用及余弦定理，求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．