Question

①如果平面α内的一条直线m与平面α的一条斜线l在平面α内的射影n垂直，那么m⊥l；
②如果平面α内的一条直线b与平面β垂直，那么α⊥β；
③经过平面α外一点有且只有一条直线与平面α平行；
④对角线相交于一点且被这点平分的四棱柱是平行六面体．
其中逆否命题为真命题的命题个数有（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：考察四命题，①可由线面垂直的性质判断，②可由面面垂直的判定定理作出判断，③可由线面平行的定义作出判断，④可由平行六面体的结构特征作出判断；

解答：解：①如果平面α内的一条直线m与平面α的一条斜线l在平面α内的射影n垂直，那么m⊥l；此命题正确，因为平面内一条直线与其斜线在平面内的射影垂直必与此斜线垂直；
②如果平面α内的一条直线b与平面β垂直，那么α⊥β；此命题正确，由面面垂直的判定定理知，一个平面若过另一上平面的垂线，由此两平面互相垂直；
③经过平面α外一点有且只有一条直线与平面α平行；此命题不正确，因为过平面外一点可做一个平面平已知平面平行，此平面内过该点的直线都与已知平面平行；
④对角线相交于一点且被这点平分的四棱柱是平行六面体；此命题正确，因为平行六面估的体对角线恰好是其两相对棱为对边的平行四边形的对角线，而对角线互相平分的四边形一定是平行四边线，故此棱柱一定是平行六面体；、
综上，①②④正确
故选B

点评：本题考点是平面与平面的位置关系，考查了线面垂直的性质，面面垂直的判定，线面平行的定义，平行六面体的结构特征，解题的关键是有着较强的空间立体感知能力，及对每个命题涉及的知识熟练掌握，本题考查了空间想像能力及推理判断的能力，此类题知识覆盖面广，是高考中常见的题型