Question

函数f（x+1）是R上的奇函数，?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则f（1-x）＞0的解集是

1. A.
   （-∞，0）
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   （-1，1）
4. D.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

B
分析：由（x₁-x₂）[f（x₁ ）-f（x₂）]＜0知f（x）是减函数，又f（x+1）是R上的奇函数，知x=0时，f（0+1）=0；
由奇函数的性质f（-x+1）=-f（x+1），且f（1-x）＞0，得f（x+1）＜0，从而得f（x+1）＜f（1），再由f（x）是减函数可得x的取值范围；
解答：∵?x₁，x₂∈R，有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴当x₁＞x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
又函数f（x+1）是R上的奇函数，
∴当x=0时，f（0+1）=f（1）=0；
由奇函数的性质知，f（-x+1）=-f（x+1），又f（1-x）＞0，∴-f（x+1）＞0，∴f（x+1）＜0；
又f（x）为R上的减函数，由f（x+1）＜0得f（x+1）＜f（1），∴x+1＞1，即x＞0；
故选：B．
点评：本题综合考查了函数的单调性和奇偶性，解题时应灵活应用概念等知识归纳、思考，是容易出错的题目．