Question

【题目】如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD＝FB.

(Ⅰ)若DC＝2EF，求证：OE∥平面ADF；

(Ⅱ)求证：平面AFC⊥平面ABCD；

(Ⅲ)若AB＝FB＝2，AF＝3，∠BCD＝60°，求AF与平面ABCD所成角．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 30°.

【解析】试题分析: （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；

（Ⅱ）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；

（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．

试题解析：

(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.

∵对角线AC与BD的交点为O，

∴OG∥DC，OG＝DC，

∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，

∴OE∥FG，

∵FG平面ADF，OE平面ADF，

∴OE∥平面ADF；

(Ⅱ)证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴OC⊥BD，

∵FD＝FB，O是BD的中点，

∴OF⊥BD，

∵OF∩OC＝O，

∴BD⊥平面AFC，

∵BD平面ABCD，

∴平面AFC⊥平面ABCD；

(Ⅲ)解：作FH⊥AC于H.

∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，

∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，

由题意，△BCD为正三角形，OA＝，BD＝AB＝2，

∵FD＝FB＝2，

∴△FBD为正三角形，∴OF＝.

△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF＝＝－，

∴∠AOF＝120°，

∴∠FAH＝∠FAO＝30°，

∴AF与平面ABCD所成角为30°