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设函数f(x)=
1
3
x3-ax2-3a2x+1(a>0)

(I)求f′(x)的表达式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间、极大值和极小值;
(Ⅲ)若x∈[a+1,a+2]时,恒有f′(x)>-3a,求实数a的取值范围.
(I)f'(x)=x2-2ax-3a2.(3分)
(Ⅱ)令f'(x)=x2-2ax-3a2=0,得x=-a或x=3a.(5分)
则当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:

可知:当x∈(-∞,-a)时,函数f(x)为增函数,当x∈(3a,+∞)时,函数f(x)也为增函数.(6分)
当x∈(-a,3a)时,函数f(x)为减函数.(7分)当x=-a时,f(x)的极大值为
5
3
a3+1
;(8分)
当x=3a时,f(x)的极小值为-9a3+1.(9分)
(Ⅲ)因为f'(x)=x2-2ax-3a2的对称轴为x=a,
且其图象的开口向上,所以f'(x)在区间[a+1,a+2]上是增函数.(10分)
则在区间[a+1,a+2]上恒有f'(x)>-3a等价于f'(x)的最小值大于-3a成立.
所以f'(a+1)=(a+1)2-2a(a+1)-3a2=-4a2+1>-3a.(12分)
解得-
1
4
<a<1
.又a>0,故a的取值范围是(0,1)
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A.
19
3
B.
13
3
C.
10
3
D.
16
3

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1
2
4)f(log
1
2
4),b=
2
f(
2
),c=(lg
1
5
)f(lg
1
5
),则a,b,c的大小关系是(  )
A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

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A.xex+xB.(x+1)ex+1C.xexD.(x+1)ex+x

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已知在R上开导,且,若,则不等式的解集为(  )
A.B.C.D.

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函数y=x(x-
1
x2
)
的导数为(  )
A.x+
1
x2
B.x-
1
x
C.2x+
1
x2
D.2x-
1
x2

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