Question

心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示讲授概念的时间（单位：min），可有以下的关系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（Ⅰ）开讲后第5min与开讲后第20min比较，学生的接受能力何时更强一些？
（Ⅱ）开讲后多少min学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（Ⅲ）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间，那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：第一小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求；
第二小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；
第三小题考查分段函数图象和增减性，令f（x）≥55，分别解出0＜x≤10时，x＞16时，x的范围，再求区间的长度，再求和与13min比较即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

，
由于f（5）=53.5，f（20）=47，则f（5）＞f（20）
则开讲后第5min比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些；
（Ⅱ）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，
则当x=10时，f（x）_min=f（10）=59，
当x＞16时，f（x）＜-3×16+109=59，
故开讲后10min（包括10分钟）学生的接受能力最强，能维持6 min．
（Ⅲ）由

-0.1x2+2.6x+43≥55 0＜x≤10

得6＜x≤10；
由

-3x+107≥55 16＜x≤30

 得16＜x≤

52

3

则t=（10-6）+6+（

52

3

-6）=

34

3

＜13．
答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念．

点评：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．