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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,M是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,且△MF1F2的周长为4+2
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=
4
3
上动点P(x0,y0)(x0•y0≠0)处的切线,l与椭圆C交与不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.
考点:直线与圆锥曲线的关系,圆的切线方程,椭圆的标准方程
专题:综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(Ⅰ)根据以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,可得b=c,利用△PF1F2的周长为4+2
2
,可得a+c=2+
2
,从而可求椭圆的几何量,进而可得椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l方程与椭圆方程联立,记Q(x1,y1),R(x2,y2),利用韦达定理,确定x1x2+y1y2=0,即可证得结论.
解答: (Ⅰ)解:因为以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=
2
c,
又因为△PF1F2的周长为4+2
2
,所以a+c=2+
2
,所以c=
2

所以a=2,b=
2
,所以所求椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1
.           …(5分)
(Ⅱ)证明:直线的l方程为x0x+y0y=
4
3
,且x02+y02=
4
3
,记Q(x1,y1),R(x2,y2),
联立直线与椭圆方程,消去y得(2x02+y02)x2-
16
3
x0x+
32
9
-4y02=0,
∴x1+x2=
16
3
x0
2x02+y02
,x1x2=
32
9
-4y02
2x02+y02
,…(8分)
∴y1y2=
16
9
-4x02
2x02+y02
,…(10分)
∴x1x2+y1y2=
32
9
-4y02
2x02+y02
+
16
9
-4x02
2x02+y02
=0
∴∠QOR=90°为定值.…(12分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用韦达定理是关键.
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4
3
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