Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，-2），且$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{1}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$的值．

Answer 1

分析 首先利用向量垂直得到θ的三角函数关系式，求出tanθ，然后利用同角三角函数的基本关系式求值．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{a}$=（1，2sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，-2），且$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$．
所以cosθ-4sinθ=0，所以tanθ=$\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{1}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{ta{n}^{2}θ+1}{2tanθ+1}$=$\frac{\frac{1}{16}+1}{2×\frac{1}{4}+1}$=$\frac{17}{24}$．

点评 本题考查了平面向量的运算以及同角三角函数的关系式运用；属于基础题．