Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2= ，且直线l经过曲线C的左焦点F． （ I ）求直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2= ，即ρ2+ρ2sin2θ=4，

可得直角坐标方程：x2+2y2=4，化为： + =1．

∴c= = ，可得作焦点F ．

直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t可得：x﹣y=m，

把 代入可得：m=﹣ ．

∴直线l的普通方程为：x﹣y+ =0．

（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为 ．

∴椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4 sinθ=4 sin（θ+φ）≤4 （其中tanφ= ）．

∴椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4 ．

【解析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2= ，即ρ2+ρ2sin2θ=4，利用互化公式可得直角坐标方程，可得作焦点F ．直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t可得：x﹣y=m，把F代入可得：m．（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为 ．可得椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4 sinθ=4 sin（θ+φ）（其中tanφ= ）．即可得出椭圆C的内接矩形的周长的最大值．