Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+

1

xn+1

＜1（n∈N^*），证明：x_n≤1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）a=0时，f′（x）=

x-1

x2

则当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0可求解；
（2）由f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

分a≥0和a＜0两种情况讨论
（3）用反证法，假设x₁=b＞1，由（2）已得到

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，再递推得1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞ lnb+ 

1

b

(lnb+

1

x3

)…＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb从而有lnb+

1

b

＞1
∴lnb＞1-

1

b

＞1，得出矛盾．

解答：解（1）a=0时，f′（x）=

x-1

x2

当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，
∴f（x）_min=1
（2）f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x₁=b＞1，由（1）知，
∴ln

xn

b

+

b

xn

≥1＞lnx_n+

1

xn+1

，∴

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，（n∈N^*），
∴故1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞ lnb+ 

1

b

(lnb+

1

x3

)…＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，即

1

1- 1 b

lnb＜1，即lnb＜1-

1

b

，①
又由（1）当b＞1时，lnb+

1

b

＞1∴lnb＞1-

1

b

＞1，与①矛盾，故b≤1，即x₁≤1，
同理可证x₂≤1，x₃≤1，…，x_n≤1（n∈N^*）

点评：本题主要考查用导数法求闭区间上的最值，求参数的范围以及用反证法证明不等式问题，综合性较强要理清思路．