Question

抛物线y=x²+bx+c（b，c∈R），在曲线上的某一点的切线的倾斜角的范围为[0，

π

4

]，则这点到抛物线的对称轴的距离的范围为

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：求函数的导数，利用根据切线的倾斜角的范围为[0，

π

4

]，得到切线斜率的取值范围，然后可以求然后利用导数求点到抛物线的对称轴的距离的范围．

解答：解：函数的导数为f'（x）=2x+b，因为曲线上的某一点的切线的倾斜角的范围为[0，

π

4

]，所以斜率的取值范围是0≤k≤1，
即0≤2x+b≤1．即x∈[-

b

2

，

1

2

-

b

2

]．
点到对称轴x=-

1

2

b的距离d=x-（-

1

2

b）=x+

1

2

b，
因为x∈[-

b

2

，

1

2

-

b

2

]．
所以d=x+

1

2

b∈[0，

1

2

]，
故答案为：[0，

1

2

]．

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用倾斜角的范围得到切线斜率是解决本题的关键．