Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=5时，f（x）=log2（ +5），

由f（x）＞0；得log2（ +5）＞0，

即 +5＞1，则 ＞﹣4，则 +4= ＞0，即x＞0或x＜﹣ ，

即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣ }．

（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．

即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x= ，

若x=﹣1是方程①的解，则 +a=a﹣1＞0，即a＞1，

若x= 是方程①的解，则 +a=2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（ +a）﹣log2（ +a）≤1，

即 +a≤2（ +a），即a≥ ﹣ =

设1﹣t=r，则0≤r≤ ，

= = ，

当r=0时， =0，

当0＜r≤ 时， = ，

∵y=r+ 在（0， ）上递减，

∴r+ ≥ = ，

∴ = = ，

∴实数a的取值范围是a≥ ．

【解析】1、当a=5时，由f（x）＞0可得 , ，所以得到 ，即不等式可得。
2、由对数的运算性质可得，整理可得到（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，对a的取值进行讨论
当a=4时，方程②的解为x=﹣1，当a=3时，方程②的解为x=﹣1，当a≠4且a≠3时，方程②的解为 ,再检验，若x=﹣1是方程①的解，则 ，即a＞1，若 是方程①的解，则 ，即a＞2,那个上所述，要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2。把以上几种情况并起来既得结果：a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．
3、由函数单调性的定义可得 f（t）﹣f（t+1）≤1，根据对数的运算性质可得到 计算出a的解析式。再由整体代换思想和基本不等式求出其取值范围。