Question

已知函数f（x）=x²，对任意实数t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函数y=g₃（x）-f（x）的单调区间；
（2）在（0，2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；
（3）若f（x）＜mg₂（x）对任意恒成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=g₃（x）-f（x）=…（1分）
所以函数y的单调递增区间是，单调递减区间是．…（3分）
（2）由已知得，，…（4分）
设0＜x₁＜x₂≤2，
则=…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立． …（7分）
因为x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即恒成立，…（8分）[
因为，所以，
所以实数t的取值范围是．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因为m＞0且，所以①式可化为，②…（11分）
要使②式对任意恒成立，只需，（12分）
因为，所以当时，函数取得最小值3，…（12分）
所以，又m＞0，所以，
故正数m的取值范围是．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，…（11分）
只需，即，解得，…（12分）
故正数m的取值范围是． …（13分）
分析：（1）利用配方法求函数y=g₃（x）-f（x）的单调区间；
（2）由已知得，，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，从而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即恒成立，故可求实数t的取值范围；（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分离参数可得，从而问题转化为，，利用配方法可求函数的最小值3，故可求正数m的取值范围；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．构造f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，只需，即，从而可求正数m的取值范围．
点评：本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利用分离参数法，进而求函数的最值．